7.4 Modelling with Differentiation - 微分建模
知识点与例题打印版
变化率与模型
把导数视为变化率；任何“最小/最大/最快/最慢”等问题，通常可转化为求导找驻点并判别最值。
Example：球体体积变化率
体积 \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\)。求 \(r=5\) 时 \(\tfrac{dV}{dr}\)。
\(\tfrac{dV}{dr}=4\pi r^2\Rightarrow 100\pi\,\text{cm}^2\)。
Example 8：无顶水箱体积最大
板材 \(54\,\text{m}^2\)。高 \(x\)。证明 \(V=18x-\tfrac{2}{3}x^3\)，并求最大值。
\(dV/dx=18-2x^2=0\Rightarrow x=3\)。\(d^2V/dx^2=-12<0\Rightarrow V_{max}=36\,\text{m}^3\)。
练习题（配图）
扇形面积为 \(100\,\text{cm}^2\)。推导 \(P=2r+\tfrac{200}{r}\) 并求最小值。
复合图形周长 \(40\,\text{cm}\)。证明 \(A=40r-2r^2-\tfrac{\pi r^2}{2}\) 并求最大面积。
